の類数が 1 であることと関係している[19][20]。一般に、0 ≤ n < p で多項式 f(n) = n2 − n + p が素数の値を取るとき、素数 p の値を「オイラーの幸運数」[21]

素数の分布は未だわからないことだらけですが、ゼータ関数の零点にはよく知られた際立った性質があります。 アプリを使ってみたいだけの人は、「ここ」 まで飛んで読み始めても大丈夫です。, この記事は tsujimotter が以前書いた「ガウスの素数定理」から続くお話です。よろしければ、合わせてこちらもご覧ください。, 大学の数学はまじめに勉強し、趣味で数学の啓蒙書を読んでいるうちに 《リーマンの素数公式》 に興味が沸いてきた。けれども、Wikipediaの解説じゃ物足りない。もっと詳しく知りたいよ。そう考えている「あなた」のための記事です。, 《リーマンの素数公式》 を自分で計算してみたいという「奇特な」方にも役に立つ内容になっているかと思います。, 話はガウスが発見した「素数定理」から始まります。 正の約数が 1 と自分自身のみである自然数で、1 でない数のことである。 正の約数の個数が 2 である自然数と言い換えることもできる。 1 は(現在では)素数には含めない。 双子素数(ふたごそすう、英: twin prime)とは、差が 2 である二つの素数の組を構成する各素数のことである。双子素数の組は、(2, 3) を除いた、最も近い素数の組である。双子素数を小さい順に並べた列は、次のとおりである。, 素数が無数に存在することは古代ギリシアで既に分かっており、ユークリッドの『原論』に証明がある。これに対し、双子素数は無数に存在するかという問題、いわゆる「双子素数の予想」や「双子素数の問題」は、いまだに数学上の未解決問題である。無数に存在するだろう、とは、多くの数論学者が予想している。, 双子素数問題そのものについては、古代ギリシア時代から知られていたとの記述あるいは示唆が多く見られるが、何らの確証も存在しない。文献の上で確認できるものは、A. ( − .label { font-size: 100%; background-color: #333; color: #fff; width: 100%-8px; padding-left: 8px; }, *1:正確にいうと「条件収束」します。そのため無理やり順番を変えて和を取ると、任意の値に収束させることができてしまいます。ここでは、kを小さいほうから順にとっていきます。, *2:2014/07/03に追記しました。元の記事では上の式に「第三項」の記述はなかったのですが、正確のため後から追加しています。今回の結果にはほとんど影響を及ぼさないなので解説しません。今後気が向いたら触れようかと思います。, *4:実際、複素関数のべき乗は、複素対数関数と複素指数関数によって計算されますが、対数の値は一意に定まらないため、値が無数に出てしまいます。主値やリーマン面というような、考えたくもない面倒な概念が入ってくるのです。たとえば Ruby という言語には複素数の対数関数を計算するライブラリがありますが、計算値としては勝手に主値が選ばれてしまいます。これが求める計算に合致するかどうかは慎重に検討が必要です。実際私も、このせいで結果が合わず、かなり悩みました。, 日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノートです。たまに技術系の記事も書きます。twitterアカウントも同名。ポートフォリオhttp://tsujimotter.info/, tsujimotterさんは、はてなブログを使っています。あなたもはてなブログをはじめてみませんか?, Powered by Hatena Blog Z H. Halberstam and H. E. Richert, Sieve Methods, Academic Press, 1974.

その直線を4等分し、そこに直径が下の円... 解析接続とは,たとえば実軸上の三角関数cosxを正則関数 www.nicovideo.jp, 可視化アプリがバージョンアップしました tsujimotter.hatenablog.com, .supplement { font-size: 80%; color: #666; border: 1px solid #eee; margin-left: 28px; padding: 8px 8px 8px 8px } このページでは『素数とは?』として、【1、素数とは?】【2、求め方は】【3、最大値は?】について まとめています! 気になる疑問を、”わかりやすく” 2分で解消! この文献によると 《とある仮定》 が成り立てば、 《振動項》 の計算を実数のまま行えるようです。簡単になった 《振動項》 の式は次のものです。, この式を見ると、確かに を含んでおり 「振動」項 という感じがしてきました。 《フーリエ展開》 に見えなくもない(?)ですね。, これを 《H. それでも数十万もの数を調べた彼は、初めから順番に数えなくても、ある数までに現れる素数の個数を教えてくれる式を発見しました。, しかし、この式は【ピッタリ正確な】数を求める事は出来ません。

双子素数(ふたごそすう、英: twin prime )とは、差が 2 である二つの素数の組を構成する各素数のことである。双子素数の組は、(2, 3) を除いた、最も近い素数の組である。 双子素数を小さい順に並べた列は、次のとおりである。 (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), … 書き方1 まず円1を書きます。その円の中心を通る直線を描きます。 そこには、まとめで述べたように「ゼータ関数の零点がどう分布しているか」が密接にかかわっています。, 今回は、「 《非自明な零点》 が 《クリティカルストリップ》 上にのみ存在する」という 《とある仮定》 のもと進めましたが、その仮定が正しいかどうかすらわかっていません。, この仮定が、実は 《リーマン予想》 という100年以上続く未解決問題*6だったのです。, 少し難しい専門書ですが、リーマンの素数公式の導出から、リーマン予想へのアプローチまで、何でも載っています。リーマンの論文「与えられた数より小さい素数の個数について」の日本語訳も巻末に載っており、非常にお得です。, 「素数の音楽」という本も面白いです。こちらの本は、一般向けに優しく書かれている本です。数式はほとんどありません。「明解 ゼータ関数とリーマン予想」は専門的過ぎて難しい、という人でも大丈夫。, 素数の音楽で慣れてきたら、多少数式が入ったこの本に挑戦してみるとよいでしょう。 以下のリンクから体験することができます。, 本記事の解説編に登場したいくつかのスクリーンショット。気になった方もいるかもしれませんが、すべてこのブラウザアプリで描画したものです。, 記事内では数個のパターンしか描画していませんが、このアプリでは k=1 から 1000 までのパターンを描画することができます。 「 《非自明な零点》 は 《クリティカルストリップ》 上にのみ存在する」というものです。残念ながら、この性質は未証明ですが、もし正しければ素数公式を通して「素数の分布は偏っていない」ことが保証される訳です。, 素数公式は、古代ギリシャからつづく数学者の素数へのアプローチを、根本から覆すリーマンの新兵器でした。 ただし n3 − 34n2 + 381n − 1511 の n = 9, 12, 13 で −107 を取るなど、同じ素数が何度も出現する場合がある。, 多変数の多項式では、全ての素数を生成することができる式がいくつか知られている。例えば、k + 2 が素数となる必要十分条件は、次のディオファントス方程式が自然数解を持つことである[22]:, 長い間、数論、その中でもとりわけ素数に関する研究は、その分野以外での応用の全くない純粋数学の見本と見なされていた。特に、イギリスの数論研究者であるハーディは、自身の研究が軍事的に何の重要性も持たないことを誇っていた。しかし、この見方は1970年代には覆されてしまった。素数が公開鍵暗号のアルゴリズムに使用できると広く知られるようになったためである。現在では素数はハッシュテーブルや擬似乱数生成にも用いられ、工学的応用上重要度の高いものとなっている。, 公開鍵暗号のアルゴリズムとして、RSA暗号やディフィー・ヘルマン鍵共有といった、大きな数の素因数分解は困難であるという性質に基礎を置くものがある。RSA暗号は、2つの(大きな)素数の掛け算は比較的簡単に(効率的に)行えるが、その積を素因数分解して元の2つの素数を求めることは難しいという事実に基づいている。, 自然界に現れる素数の一例として、素数ゼミと呼ばれるセミの一種がいる。アメリカ合衆国に分布するこのセミの成虫は、ある周期ごとに、13年ないしは17年間の周期で大量発生する。成虫になった後は、数週間だけを地上で成虫として過ごし交配と産卵を行う。このセミが素数周期で発生する理由として、寄生虫や捕食者に対抗するための進化であるという説や近縁種との交雑を避けるためであるという説がある。つまり、もしこのセミが12年の発生周期を持っていた場合、12の約数である2, 3, 4, 6年の寿命を持つ捕食者と同時に発生してしまうことになり、捕食対象にされやすくなる。また、地理的に近い場所で12年周期と15年周期のセミが存在した場合、60年ごとに2種は同時に発生し、交雑してしまう可能性がある。すると、雑種は発生周期がズレてしまい、同種のセミとの交尾の機会が失われる。素数の周期を持つものは交雑が起こりにくく、淘汰されにくいと考えられる[30]。, また、ゼータ関数上の零点の分布の数式が、原子核のエネルギー間隔を表す式と一致することを示し、素数と核物理現象との関連性が示唆されている。, 自然数で素数でないものが連続している区間を「素数砂漠」という。例えば{24, 25, 26, 27, 28} は「長さ 5 の素数砂漠」である。素数砂漠を挟む2個の素数は 3 以上であるため、共に奇数である。このことから、素数砂漠の長さは必ず奇数である。いくらでも長い素数砂漠が構成できる(#分布を参照)。, 30030, 255255, 1616615, 7436429, 30808063, 86822723, …, Jones, James P.; Sato, Daihachiro; Wada, Hideo; Wiens, Douglas (1976), "Diophantine representation of the set of prime numbers", American Mathematical Monthly, en:Furstenberg's proof of the infinitude of primes, https://users.renyi.hu/~p_erdos/1938-12.pdf, "Arguments for and against the primality of 1", https://primes.utm.edu/notes/proofs/infinite/Saidak.html, https://www.humboldt-professur.de/en/preistraeger/preistraeger-2015/harald-andres-helfgott, https://www.springer.com/jp/book/9783642008566, https://www.springer.com/jp/book/9780387201696, https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=素数&oldid=80436047.